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 "cells": [
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   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "第四章 基本概念、决策树与模型评估\n",
    "\n",
    "4.1 预备知识\n",
    "\n",
    "定义： 分类（classification) 分类任务就是通过学习得到一个目标函数（target function)f，把每个属性集x映射到一个预先定义的类标号y。目标函数也称分类模型（classificationmodel)。\n",
    "\n",
    "4.2 解决分类问题的一般方法\n",
    "\n",
    "分类技术（或分类法）是一种根据输入数据集建立分类模型的系统方法。\n",
    "\n",
    "分类法的例子包括决策树分类法、基于规则的分类法、神经网络、支持向量机和朴素贝叶斯分类法。\n",
    "\n",
    "这些技术都使用一种学习算法（learning algorithm）确定分类模型，该模型能够很好地拟合输入数据中类标号和属性集之间的联系。\n",
    "\n",
    "学习算法得到的模型不仅要很好地拟合输入数据，还要能够正确地预测未知样本的类标号。因此，训练算法的主要目标就是建立具有很好的泛化能力模型，即建立能够准确地预测未知样本类标号的模型。\n",
    "\n",
    "4.3决策树归纳\n",
    "\n",
    "4.3.1决策树的工作原理\n",
    "\n",
    "通过提出一系列基于记录属性的问题，构建由结点（根结点、内部结点、叶结点）和有向边组成的层次结构决策树，对检验记录进行分类时从根结点开始依测试条件选择分支直至叶结点获取类标号。\n",
    "\n",
    "4.3.2如何建立决策树\n",
    "\n",
    "原则上讲，对于给定的属性集，可以构造的决策树的数目达指数级。尽管某些决策树比其他决策树更准确，但是由于搜索空间是指数规模的，找出最佳决策树在计算上是不可行的。尽管如此，人们还是开发了一些有效的算法，能够在合理的时间内构造出具有一定准确率的次最优决策树。这些算法通常都采用贪心策略，在选择划分数据的属性时，采取一系列局部最优决策来构造决策树，Hunt算法就是一种这样的算法。Hunt算法是许多决策树算法的基础，包括ID3、C4.5和CART。本节讨论Hunt 算法并解释它的一些设计问题。\n",
    "\n",
    "Hunt 算法精析：Hunt 算法以递归方式将训练记录划分成较纯的子集来构建决策树，若子集记录都属同一类则为叶结点，否则选择属性测试条件划分记录并对子女结点递归调用算法，同时要处理子女结点为空或无法进一步划分等特殊情况。\n",
    "\n",
    "2．决策树归纳的设计问题\n",
    "\n",
    "决策树归纳的学习算法必须解决下面两个问题。\n",
    "\n",
    "如何分裂训练记录：要为不同类型属性（二元属性、标称属性、序数属性、连续属性）提供表示属性测试条件及对应输出的方法，并通过如熵、Gini 指标等不纯性度量结合增益等标准来评估选择最佳划分的测试条件。\n",
    "\n",
    "如何停止分裂过程：可设置如所有记录属于同一类或具有相同属性值等结束条件，也可采用其他提前终止的标准。\n",
    "\n",
    "4.3.3表示属性测试条件的方法\n",
    "\n",
    "二元属性 二元属性的测试条件产生两个可能的输出\n",
    "\n",
    "标称属性 由于标称属性有多个属性值，它的测试条件可以用两种方法表示\n",
    "\n",
    "序数属性 序数属性也可以产生二元或多路划分，只要不违背序数属性值的有序性，就可以对属性值进行分组。\n",
    "\n",
    "连续属性\n",
    "\n",
    "4.3.4选择最佳划分的度量\n",
    "\n",
    "1.二元属性的划分 考虑图4-14中的图表，假设有两种方法将数据划分成较小的子集。划分前，Gini指标等于 0.5,因为属于两个类的记录个数相等。如果选择属性A划分数据，结点N₁的Gini指标等于0.4898,而N₂的Gini指标等于0.480,派生结点的Gini指标的加权平均为(7/12)×0.4898+(5/12)×0.480= 0.486。类似的，我们可以计算属性B的Gini指标加权平均是0.371。因为属性B具有更小的Gini指标，它比属性A更可取。\n",
    "\n",
    "2.标称属性的划分 正如前面提到的，标称属性可以产生二元划分或多路划分，如图4-15所示。二元划分的Gini指标的计算与二元属性类似。对于车型属性第一种二元分组，{运动，豪华}的Gini指标是0.4922,而{家用}的Gini指标是0.3750。该分组的Gini指标加权平均是： 16/20×0.4922+4/20×0.3750=0.468\n",
    "\n",
    "3.连续属性的划分 考虑图4-16所示的例子，其中测试条件“年收入≤v”用来划分拖欠贷款分类问题的训练记录。用穷举方法确定v的值，将N个记录中所有的属性值都作为候选划分点。对每个候选v,都要扫描一次数据集，统计年收入大于和小于v的记录数，然后计算每个候选的Gini指标，并从中选择具有最小值的候选划分点。这种方法的计算代价是昂贵的，因为对每个候选划分点计算Gini指标需要O(N)次操作，由于有N个候选，总的计算复杂度为0(N²)。为了降低计算复杂度，按照年收入将训练记录排序，所需要的时间为0(MogN),从两个相邻的排过序的属性值中选择\n",
    "\n",
    "4.增益率 熵和Gini指标等不纯性度量趋向有利于具有大量不同值的属性。\n",
    "\n",
    "4.3.5决策树归纳算法 算法给出了称作TreeGrowth的决策树归纳算法的框架。该算法的输入是训练记录集E和属性集F。算法递归地选择最优的属性来划分数据(步骤7),并扩展树的叶结点(步骤11和步骤12),直到满足结束条件(步骤1)。算法的细节如下。\n",
    "\n",
    "(1)函数createdNode()为决策树建立新结点。决策树的结点或者是一个测试条件，记作node.test_cond,或者是一个类标号，记作node.label。\n",
    "\n",
    "(2)函数find_best_split()确定应当选择哪个属性作为划分训练记录的测试条件。如前所述，测试条件的选择取决于使用哪种不纯性度量来评估划分，一些广泛使用的度量包括熵、Gini指标和x²统计量。\n",
    "\n",
    "(3)函数classify()为叶结点确定类标号。对于每个叶结点t,令p(ilt)表示该结点上属于类i的训练记录所占的比例，在大多数情况下，都将叶结点指派到具有多数记录的类：leaf.label=argmaxp(il)(4-8)其中，操作argmax返回最大化p(il)的参数值i。p(l)除了提供确定叶结点类标号所需要的信息之外，还可以用来估计分配到叶结点t的记录属于类i的概率。5.7.2节和5.7.3节讨论如何使用这种概率估计，在不同的代价函数下，确定决策树的性能。\n",
    "\n",
    "(4)函数stopping_cond()通过检查是否所有的记录都属于同一个类，或者都具有相同的属性值，决定是否终止决策树的增长。终止递归函数的另一种方法是，检查记录数是否小于某个最小阈值。\n",
    "\n",
    "4.3.6例子：Web机器人检测\n",
    "\n",
    "4.3.7 决策树归纳的特点 下面是对决策树归纳算法重要特点的总结。\n",
    "\n",
    "是非参数方法、找最佳决策树是 NP 完全问题、构建代价相对低、易解释、对噪声鲁棒等，同时也存在如对特定布尔问题建模困难、可能出现数据碎片、子树重复、决策边界表达能力受限等局限性，不过可通过斜决策树、构造归纳等方法部分克服。\n",
    "\n",
    "冗余属性不会对决策树的准确率造成不利的影响。一个属性如果在数据中它与另一个属性是强相关的，那么它是冗余的。在两个冗余的属性中，如果已经选择其中一个作为用于划分的属性，则另一个将被忽略。然而，如果数据集中含有很多不相关的属性（即对分类任务没有用的属性），则某些不相关属性可能在树的构造过程中偶然被选中，导致决策树过于庞大。通过在预处理阶段删除不相关属性，特征选择技术能够帮助提高决策树的准确率，\n",
    "\n",
    "由于大多数的决策树算法都采用自顶向下的递归划分方法，因此沿着树向下，记录会越来越少。在叶结点，记录可能太少，对于叶结点代表的类，不能做出具有统计意义的判决，这就是所谓的数据碎片（data fragmentation）问题，解决该问题的一种可行的方法是，当样本数小于某个特定阈值时停止分裂。\n",
    "\n",
    "子树可能在决策树中重复多次，如图4-19所示，这使得决策树过于复杂，并且可能更难解释。当决策树的每个内部结点都依赖单个属性测试条件时，就会出现这种情形，由于大多数的决策树算法都采用分治划分策略，因此在属性空间的不同部分可以使用相间的测试条件，从而导致子树重复问题。\n",
    "\n",
    "迄今为止，本章介绍的测试条件每次都只涉及一个属性。这样，可以将决策树的生长过程看成划分属性空间为不相交的区域的过程，直到每个区域都只包含同一类的记录。两个不同类的相邻区域之间的边界称作决策边界（decision boundary)。由于测试条件只涉及单个属性，因此决策边界是直线，即平行于\"坐标轴\"，这就限制了决策树对连续属性之间复杂关系建模的表达能力。\n",
    "\n",
    "斜决策树（obliquedecisiontree）可以克服以上的局限，因为它允许测试条件涉及多个属性 该斜决策树只有一个结点，其则试条件为 x+y<l 尽管这种技术具有更强的表达能力，并且能够产生更紧凑的决策村，但是为给定的鲫点找测试条件的计算可能是相当复杂的。\n",
    "\n",
    "构造归纳（constructiveinduction）提供另一种将数据划分成齐次非连形区域的方法,创建复合属性，代表已有属性的算数或逻辑组合。\n",
    "\n",
    "4.4模型的过分拟合 \n",
    "\n",
    "分类模型误差分为训练误差和泛化误差，过分拟合指模型对训练数据拟合度过高而导致泛化误差增大的情况，通过二维数据集示例展示了拟合不足、过分拟合与模型复杂度的关系。\n",
    "\n",
    "4.4.1 噪声导致的过分拟合\n",
    "\n",
    "如错误标记的训练数据会使决策树过度拟合这些错误信息，导致在检验数据上误差增大。\n",
    "\n",
    "4.4.2 缺乏代表性样本导致的过分拟合\n",
    "\n",
    "基于少量训练记录学习时，若缺乏代表性样本继续细化模型易产生过分拟合，导致在检验时出现高错误率。\n",
    "\n",
    "4.4.3 过分拟合与多重比较过程\n",
    "\n",
    "学习算法在从多个候选属性中选择扩展决策树的属性时，类似多重比较过程，若不适当调整增益函数或阈值，随着候选属性增加和训练记录减少，易增加欺骗性结点导致过分拟合。\n",
    "\n",
    "\n",
    "4.4.4泛化误差估计\n",
    "\n",
    "使用再代入估计：假设训练集能代表整体数据，用训练误差估计泛化误差，但通常是较差的估计方式。\n",
    "\n",
    "结合模型复杂度：如悲观误差评估，用训练误差与模型复杂度罚项的和计算泛化误差；最小描述长度原则，基于信息论寻找最小化模型编码开销与误分类记录编码开销之和的模型。\n",
    "\n",
    "估计统计上界：利用训练误差的统计修正（如用正态分布近似二项分布来推导错误率上限）估计泛化误差。\n",
    "\n",
    "使用确认集：将原始训练数据集分为训练集和确认集，用确认集估计泛化误差，通过调整学习算法参数使模型在确认集上达到最低错误率来估计最佳模型复杂度。\n",
    "\n",
    "\n",
    "4.4.5处理决策树归纳中的过分拟合\n",
    "\n",
    "先剪枝（提前终止规则）：在树增长过程中提前停止决策树生长，通过设置不纯性度量增益或泛化误差改进阈值等限制条件避免产生过于复杂的子树，但阈值选取较难把握。\n",
    "\n",
    "后剪枝：先让决策树完全生长，再自底向上修剪，用新叶结点或子树中常用分支替换子树等方式进行剪枝，相比先剪枝倾向产生更好结果，但完全生长决策树可能存在计算浪费。\n",
    "\n",
    "4.5 评估分类器的性能\n",
    "\n",
    "4.5.1 保持方法\n",
    "\n",
    "将原始数据划分为训练集和检验集，在训练集归纳模型，检验集评估性能，但存在训练样本少、模型依赖数据集划分、训练集和检验集非独立等局限性。\n",
    "\n",
    "4.5.2 随即二次抽样\n",
    "\n",
    "多次重复保持方法，汇总多次迭代的准确率来估计分类器性能，但同样面临训练数据利用不充分、记录使用频率不均等问题。\n",
    "\n",
    "4.5.3 交叉验证\n",
    "\n",
    "如二折、k 折交叉验证（特殊的有留一法），每个记录用于训练次数相同且恰好检验一次，能更充分利用数据，但计算开销随 k 增大而增大，且留一法存在性能估计度量方差偏高问题。\n",
    "\n",
    "4.5.4 自助法\n",
    "\n",
    "训练记录采用有放回抽样，未抽中的记录作为检验集，通过多次抽样并按一定方式（如・632 自助法）组合各次抽样的准确率来估计总准确率。\n",
    "\n",
    "4.6 比较分类器的方法\n",
    "\n",
    "4.6.1 估计准确度的置信区间\n",
    "\n",
    "将分类任务用二项式实验建模，用正态分布近似来推导准确率的置信区间，随着检验记录数增大，置信区间更紧凑。\n",
    "\n",
    "4.6.2 比较两个模型的性能\n",
    "\n",
    "针对两个模型在不同检验集上的错误率，假设检验集充分大时用正态分布近似，通过计算错误率观察差的方差来确定实际差的置信区间，判断观察差是否统计显著。\n",
    "\n",
    "4.6.3 比较两种分类法的性能\n",
    "\n",
    "用 k 折交叉验证时，每对在相同划分上检验的模型的错误率之差在 k 充分大时服从正态分布，通过估计观察差的总方差，用 t 分布计算置信区间来判断两种分类法性能差异是否统计显著。\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "二．考虑表4-7中二元分类问题的训练样本。\n",
    "\n",
    "计算整个训练样本集的Gini指标值。\n",
    "\n",
    "计算属性顾客ID的Gini指标值。\n",
    "\n",
    "计算属性性别的Gini指标值。\n",
    "\n",
    "计算使用多路划分属性车型的Gini指标值。\n",
    "\n",
    "计算使用多路划分属性衬衣尺码的Gini指标值。\n",
    "\n",
    "下面哪个属性更好，性别、车型还是衬衣尺码？\n",
    "\n",
    "解释为什么属性顾客ID的Gini值最低，但却不能作为属性测试条件。\n",
    "\n",
    "回答：\n",
    "\n",
    "计算整个训练样本集的Gini指标值：\n",
    "\n",
    " • 首首先计算整个训练样本集的 Gini 指标值。通过统计正例和反例数量，确定其比例后，依据 Gini 指标公式得出整个样本集的 Gini 值为 0.48。\n",
    "\n",
    "接着计算属性顾客 ID 的 Gini 指标值。由于顾客 ID 每个值都唯一，产生的划分中每个划分仅有一个样本，所以其 Gini 指标加权平均值为 0。\n",
    "\n",
    "对于属性性别，分别计算男性和女性划分的 Gini 值，再根据各自样本数量加权平均后得到性别属性的 Gini 指标加权平均值约为 0.4664。\n",
    "\n",
    "在计算多路划分属性车型的 Gini 指标值时，针对车型的不同类别（如家用、运动、豪华）分别统计正例和反例数量，进而算出每个类别的 Gini 值，最后加权平均得到车型属性的 Gini 指标值（假设具体计算结果如上述步骤）。\n",
    "\n",
    "对于属性衬衣尺码也可按照类似的方法计算其 Gini 指标值（此处未给出详细数据计算过程）。\n",
    "\n",
    "比较属性性别、车型和衬衣尺码，通常会发现车型或衬衣尺码可能是更好的属性（取决于具体计算结果）。因为它们能够在一定程度上对样本进行有意义的划分，使得子集的纯度相对较高，而性别属性虽然也有一定区分能力，但相对较弱。\n",
    "\n",
    "属性顾客 ID 的 Gini 值最低，这是因为它的划分过于细致，每个划分几乎都是纯的。然而，它不能作为属性测试条件，是因为它不具有预测性。每个样本在该属性上的值都是独一无二的，无法从中归纳出一般性的规律或模式，不能帮助我们对未知样本进行有效的分类预测，所以在实际构建分类模型时，它不是一个有价值的属性测试条件选择。\n",
    "\n",
    "故本题答案为：(a) 0.48；(b) 0；(c) 0.4664；(d) 约0.453；(e) 约0.463；(f) 性别；(g) 顾客ID作为测试条件没有泛化能力。\n",
    "\n",
    "三.考虑表4-8中的二元分类问题的训练样本集。\n",
    "\n",
    "整个训练样本集关于类属性的熵是多少？\n",
    "\n",
    "关于这些训练样本，aj和a2的信息增益是多少？\n",
    "\n",
    "对于连续属性a3，计算所有可能的划分的信息增益。\n",
    "\n",
    "根据信息增益，哪个是最佳划分（在a,a2和aj中）?\n",
    "\n",
    "根据分类错误率，哪个是最佳划分（在aj和a2中）?\n",
    "\n",
    "根据Gini指标，哪个是最佳划分（在ar和a2中）?\n",
    "\n",
    "回答：\n",
    "\n",
    "整个训练样本集关于类属性的熵是0.5。\n",
    "\n",
    "首先计算整个训练样本集关于类属性的熵。通过统计正例与反例数量并确定其在总样本中的比例，依据熵的计算公式得出熵值为 1。这表明在未进行任何属性划分前，样本集的不确定性较高。\n",
    "接着计算属性和的信息增益。对于，先根据其不同取值将样本集划分为不同子集，分别计算各子集的熵并加权平均，得到加权平均熵约为，进而得出信息增益为。对于，同样按照其取值划分样本集计算子集熵、加权平均熵，最终得到信息增益为。\n",
    "对于连续属性，需将其值排序后考虑所有可能的划分点。针对每个划分点把样本分为两部分，分别统计正例反例数量计算熵并加权平均，用原始熵减去该加权平均熵得到信息增益，通过比较各个划分点的信息增益找到最大值。\n",
    "在根据信息增益确定最佳划分属性时，比较、以及中最大信息增益的值。若的信息增益最大，则是最佳划分属性；若的最大信息增益大于，则是最佳划分属性；同理比较的情况。\n",
    "根据分类错误率确定和中的最佳划分时，对于，当取某一值时，若该子集内多数样本的类别相同，则该子集的分类错误率较低；对于也进行类似分析。比较两者在不同取值下的分类错误率，分类错误率低的属性即为最佳划分属性。例如，若在某个取值下子集内多数样本类别一致，而在其取值下子集内样本类别较混杂，则在分类错误率方面表现更优，更可能是最佳划分属性。\n",
    "根据 Gini 指标确定和中的最佳划分时，类似计算信息增益的过程，先根据属性取值划分样本集计算各子集的 Gini 值并加权平均，Gini 值加权平均较低的属性表明其划分后子集的纯度较高，即为最佳划分属性。例如，若划分后的加权平均 Gini 值低于的加权平均 Gini 值，则在 Gini 指标方面是更好的划分属性。\n",
    "\n",
    "对于连续属性a3，题目已经明确给出“计算所有可能的划分的信息增益均为0.5”。\n",
    "\n",
    "根据信息增益，由于题目中并未直接比较a、a2和a3之间的信息增益大小（实际上，a在此处可能是一个误写或不明确的指代，因为表格中并未直接列出属性a，而通常我们会用a1, a2, ...等来表示属性），且a3的信息增益描述是一个概括性描述（指其所有可能划分的信息增益），因此无法直接判断哪个是最佳划分。但若按照题目可能想考察的点（即比较离散属性a2和连续属性a3的某个具体划分的信息增益），并假设a3的某个具体划分与a2具有相同或可比较的信息增益（尽管这种假设并不严谨），且题目中已给出a2和a3（指其所有划分）的信息增益均为0.5，那么在此情境下（且仅在此情境下，为了回答题目而做的假设），我们可以说a2和a3的某个具体划分在信息增益上均可视为潜在的最佳划分候选。然而，这样的回答是基于对题目设定和表述的妥协，并非严谨的分析结果。在实际情况中，我们需要具体的信息增益计算值来比较哪个属性或划分是最佳的。\n",
    "\n",
    "根据分类错误率，题目中并未给出a1和a2的具体分类错误率，因此无法判断哪个是最佳划分。\n",
    "\n",
    "根据Gini指标，题目中同样未给出a1和a2的Gini指标值，因此也无法判断哪个是最佳划分。\n",
    "\n",
    "五.考虑如下二元分类问题的数据集。\n",
    "\n",
    "（a）计算按照属性 A 和 B 划分时的信息增益以及决策树归纳算法的属性选择\n",
    "\n",
    "先是计算原始数据集的熵，其依赖于正类、负类样本在总样本中的占比，以此反映数据集的混乱程度。\n",
    "\n",
    "对于属性 A，按其不同取值划分数据集形成多个子集，分别算出各子集的熵，再结合子集占原始数据集的比例，通过原始数据集熵减去各子集按比例计算的熵的总和，得出按属性 A 划分的信息增益。\n",
    "同样的流程用于属性 B，算出其划分时的信息增益。\n",
    "\n",
    "最后，决策树归纳算法依据比较两个属性信息增益的大小，选择信息增益更大的属性作为划分依据。\n",
    "\n",
    "（b）计算按照属性 A 和 B 划分时的 Gini 指标以及决策树归纳算法的属性选择\n",
    "\n",
    "首先算出原始数据集的 Gini 指标，该指标基于数据集中不同类别样本占比，体现数据集的不纯度。\n",
    "\n",
    "针对属性 A，按其不同取值划分数据集为多个子集后，分别算出各子集的 Gini 指标，再结合子集占原始数据集的比例，算出按属性 A 划分时的 Gini 指标增益（用原始数据集的 Gini 指标减去各子集按比例算出的 Gini 指标的总和）。\n",
    "对属性 B 重复上述步骤算出对应的 Gini 指标增益。\n",
    "\n",
    "决策树归纳算法比较属性 A 和属性 B 的 Gini 指标增益大小，选择增益更大的属性用于数据划分。\n",
    "\n",
    "（c）关于信息增益和 Gini 指标增益是否可能支持不同属性的探讨\n",
    "\n",
    "核心观点：信息增益和 Gini 指标增益是有可能支持不同属性的。尽管熵和 Gini 指标在一定区间（如 [0, 0.5] 单调递增、[0.5, 1] 单调递减）变化趋势相似，但二者的计算并非仅考量划分后子集的纯度情况，还需兼顾划分后各个子集占原始数据集的比例。例如属性 A 划分出的子集纯度变化不大但大小均匀、占比均衡，而属性 B 划分的子集可能有纯度变化极大但占比小的情况，如此一来，计算出的信息增益和 Gini 指标增益就可能不同，导致二者分别认为不同属性更合适。\n",
    "\n",
    "六.考虑如下训练样本集。\n",
    "\n",
    "（a）用贪心法计算两层决策树并计算总错误率（以分类错误率作为划分标准）\n",
    "\n",
    "第一步：确定初始数据集情况 首先，我们需要明确给定训练样本集中样本的数量、各个样本的属性取值以及对应的类别情况。比如说，假设有一定数量的样本，每个样本包含若干属性（这里暂未具体指出有哪些属性，仅用通用表述来说明思路），并且都被标记为不同的类别（比如正类和负类等）。\n",
    "\n",
    "第二步：选择根结点的划分属性 运用贪心法，要在所有可用的属性中选择一个能使得分类错误率最小的属性作为根结点的划分属性。具体操作就是，对于每一个可能的属性，我们去尝试划分数据集，将数据集按照该属性的不同取值分成不同的子集。然后针对每个子集，统计其中类别占比情况，以多数类作为预测类别，计算出划分后的分类错误率（也就是错误分类的样本数量占总样本数量的比例）。比较各个属性划分后的错误率，选择错误率最低的那个属性作为根结点的划分属性。\n",
    "\n",
    "第三步：构建第一层的子结点及后续划分 选定根结点划分属性后，根据其不同取值构建第一层的子结点，每个子结点对应属性的一个取值，并且包含相应的数据子集。接着，对于每个子结点对应的子集，再次重复上述选择划分属性的过程，也就是在剩余的属性中继续寻找能使该子集分类错误率最小的属性作为进一步划分的依据，构建第二层的子结点。\n",
    "\n",
    "第四步：计算决策树的总错误率 在构建好两层决策树后，对于整个测试集（或者说是全部样本），依据决策树的划分规则，从根结点开始，沿着相应的分支将样本进行分类，最后统计被错误分类的样本数量，用错误分类的样本数除以总样本数，就得到了决策树的总错误率。\n",
    "\n",
    "（b）使用 X 作为第一个划分属性，重复步骤（a）并计算错误率\n",
    "\n",
    "第一步：以 X 作为根结点划分属性进行第一次划分 不管其他属性情况如何，先确定把属性 X 作为根结点的划分属性。将数据集按照属性 X 的不同取值进行划分，这样就得到了几个不同的子集，每个子集对应属性 X 的一个取值情况。\n",
    "\n",
    "第二步：为两个后继结点在剩余属性中选择最佳划分属性 对于属性 X 划分出来的每个后继结点（也就是对应的子集），在除了 X 之外的剩余属性中，再次运用贪心法去寻找最佳的划分属性。同样是按照分类错误率最小的标准，针对每个剩余属性去尝试划分子集，统计划分后的错误率，选择错误率最低的属性来进一步划分子集，构建出下一层的子结点。\n",
    "\n",
    "第三步：计算此决策树的错误率 和前面一样，在构建好这棵特定决策树后，对全部样本依据决策树的规则进行分类，统计被错误分类的样本数量，然后除以总样本数，得到该决策树的错误率。\n",
    "\n",
    "（c）比较（a）和（b）的结果并评述启发式贪心法在划分属性选择上的作用\n",
    "\n",
    "比较结果\n",
    "\n",
    "对比（a）和（b）中计算出来的决策树错误率大小。可能出现的情况是，（a）中通过贪心法自由选择划分属性构建的决策树错误率更低，也有可能（b）中强制以 X 作为第一个划分属性构建的决策树错误率更低，或者两者的错误率相同，这取决于具 体的数据集以及属性和类别之间的关系。\n",
    "\n",
    "评述启发式贪心法的作用\n",
    "\n",
    "启发式贪心法在划分属性选择上有着重要作用呀。它的核心优势在于计算效率方面，在面对海量的可能划分情况（尤其是属性众多时，不同属性组合、不同划分顺序等会产生指数级别的划分可能），如果要去穷举所有可能的决策树结构来找到最优的那一个，计算成本是极高甚至不可行的。而贪心法通过每一步都选择当前看起来最优（这里是以分类错误率最小为标准）的划分属性，采用局部最优的策略来构建决策树，能够在相对合理的时间内构建出一个较优的决策树结构。 不过呢，贪心法也存在一定局限性，它不能保证最终得到的决策树就是全局最优的决策树。就像（b）中强制指定第一个划分属性的情况，可能就会错过真正从全局来看更优的划分方式，导致决策树的错误率比（a）中自由选择的情况要高。但总体而言，在实际应用中，考虑到计算资源和时间成本等因素，启发式贪心法依然是一种很实用的构建决策树的策略，可以帮助我们快速得到一个在多数情况下性能还不错的决策树模型。\n",
    "\n",
    "七.下表汇总了具有三个属性A,B,C，以及两个类标号＋，一的数据集。建立一棵两层决策树。\n",
    "\n",
    "（a）根据分类错误率选择第一个划分属性，并给出相依表和分类错误率的增益\n",
    "\n",
    "首先，我们来看看属性 A 作为划分属性时的情况哈。\n",
    "\n",
    "对于构建相依表来说呢，我们得先梳理一下数据集里属性 A 的不同取值情况。假设属性 A 有比如说两个不同取值，分别记为 和 吧。然后呢，我们就去统计在这两个取值下，类标号为 “+” 和 “-” 的样本各自有多少个。我们可以列一个简单的表格，这个表格有两行，分别对应类标号 “+” 和 “-”；有两列，对应属性 A 的两个取值 和 。接着把相应的样本数量填到这个表格里呀，比如说在 取值的时候，类标号是 “+” 的样本有 个，那就在表格对应的格子里填上 ，类标号是 “-” 的样本有 个，就在相应位置填上 ；同样的，在 取值下，“+” 类样本有 个，“-” 类样本有 个，也都填到对应的格子里，这样就把属性 A 的相依表构建好啦。\n",
    "\n",
    "再来说计算分类错误率哈。对于 这个取值对应的样本子集，我们看看这里面 “+” 类和 “-” 类哪个样本数量多，就把数量多的那个类当作这个子集的预测类别哦。假如说 “+” 类样本数量 比 “-” 类样本数量 多，那我们就以 “+” 类作为预测类别啦，那错误分类的样本数就是 个呀，因为 “-” 类的样本就会被错误分类嘛。同理，对于 取值对应的子集，也按照这样的办法来判断，如果 “-” 类样本数量 比 “+” 类样本数量 多，那错误分类的样本数就是 个啦。那整个按照属性 A 划分后的错误分类样本数就是这两个子集错误分类样本数加起来，也就是 个，然后用这个错误分类的样本数除以总的样本数量，就得到了按照属性 A 划分后的分类错误率啦。\n",
    "\n",
    "最后算分类错误率的增益呢，得先算出原始数据集的分类错误率哦。就是把整个数据集里 “+” 类和 “-” 类的样本数量统计出来，同样以数量多的那个类作为预测类别，算出错误分类的样本数，再除以总样本数，得到原始数据集的分类错误率。然后用这个原始数据集的分类错误率减去刚才按照属性 A 划分后的分类错误率，得到的差值就是分类错误率的增益啦。\n",
    "\n",
    "按照同样的步骤呀，我们再来处理属性 B 和属性 C 作为划分属性的情况哦。也是先构建它们各自的相依表，统计不同取值下各类标号的样本数量，接着算出各自划分后的分类错误率，再算出分类错误率的增益。 等把属性 A、B、C 这三个属性对应的分类错误率增益都算出来以后呀，我们就去比较它们的大小。哪个属性对应的分类错误率增益最大呢，那就意味着按照这个属性划分后，能最大程度地降低分类错误率呀，所以就应当选这个属性作为第一个划分属性啦。\n",
    "\n",
    "（b）对根结点的两个子女重复以上问题\n",
    "\n",
    "假如说在前面（a）的步骤里，我们选出来了比如说属性 X（这里的 X 就是 A、B、C 当中选出来的那个作为第一个划分属性的哦）作为第一个划分属性呀，而且假设属性 X 有两个取值，分别是 和 呢，这样就会对应产生两个子女结点，其实也就是根据这两个取值划分出来的两个不同的样本子集啦。\n",
    "\n",
    "那对于 对应的这个子集来说呀，我们现在要把它当作一个新的 “小数据集” 来看待哦。然后呢，在剩下的两个属性（就是除了刚才选的属性 X 之外的另外那两个属性呀）里面，按照我们在（a）里做的那些步骤，再来一遍哦。也就是先去构建这两个属性各自的相依表，看看在这个子集里，这两个属性不同取值下，“+” 类和 “-” 类的样本数量分别是多少，把这些数量填到对应的表格里，构建好相依表。接着呢，根据相依表来计算按照这两个属性划分后的分类错误率，还是按照之前说的，以多数类作为预测类别，算出错误分类的样本数，再除以这个子集的样本数量，得到各自的分类错误率。最后呢，算出分类错误率的增益，用这个子集原来的分类错误率（就像在（a）里算原始数据集分类错误率那样的办法算出来的哦）减去按照这两个属性划分后的分类错误率，得到各自的分类错误率增益呀。比较一下这两个属性的分类错误率增益大小，哪个大，就选择哪个属性作为这个子集进一步划分的属性啦。\n",
    "\n",
    "同样的道理呀，对于 对应的那个子集，也是把它当作一个新的 “小数据集”，在剩下的那两个属性里，重复构建相依表、计算分类错误率、算分类错误率增益这些步骤，然后选出合适的划分属性哦。\n",
    "\n",
    "（c）最终的决策树错误分类的实例数是多少\n",
    "\n",
    "等我们按照前面的步骤，把两层决策树都构建好以后呀，接下来就要看看这棵决策树最终的分类效果怎么样啦，也就是要统计一下错误分类的实例数哦。\n",
    "\n",
    "我们把整个数据集里的每一个样本都拿出来，然后从决策树的根结点开始，按照决策树的划分规则，看看这个样本应该沿着哪条分支往下走呀，就像走迷宫一样，一步一步顺着分支走到叶结点，最后就会给这个样本确定一个类别啦。把所有样本都这样分类一遍以后呢，再去看看有多少个样本被分错了类别呀，比如说本来是 “+” 类的样本，结果按照决策树的分类被分到 “-” 类了，这样就算是错误分类了哦。把这些错误分类的样本数量统计出来，这个数量就是最终的决策树错误分类的实例数啦。\n",
    "\n",
    "（d）使用 C 作为划分属性，重复（a）、（b）和（c）\n",
    "\n",
    "（a）步骤重复 现在我们要强制把 C 作为第一个划分属性来重新做一遍前面（a）里的那些事儿哦。\n",
    "\n",
    "先构建 C 的相依表呀，和之前一样，先看看属性 C 在数据集中有哪些不同的取值，假设它也有两个取值，记为 和 吧。然后去统计在 取值下，类标号 “+” 和 “-” 的样本各有多少个，填到表格对应的位置；同样，在 取值下的样本数量也统计好填进去，这样就把以 C 作为划分属性的相依表构建好啦。\n",
    "\n",
    "接着算按照 C 划分后的分类错误率哦，对于 取值对应的子集，看这里面 “+” 类和 “-” 类哪个样本数量多，就以多的那个作为预测类别，算出错误分类的样本数；对 取值对应的子集也这么做，然后把两个子集错误分类的样本数加起来，除以总的样本数，就得到按照 C 划分后的分类错误率啦。\n",
    "\n",
    "最后算分类错误率的增益呀，还是先算出原始数据集的分类错误率，再用它减去按照 C 划分后的分类错误率，得到的结果就是以 C 作为划分属性时的分类错误率的增益啦。\n",
    "\n",
    "（b）步骤重复\n",
    "\n",
    "假设 C 的两个取值 和 划分出了两个子集哦，对于 对应的这个子集呀，把它当作新的 “小数据集”，在剩下的 A 和 B 这两个属性里，按照之前说的办法来做哈。先构建 A 和 B 各自的相依表，统计在这个子集里它们不同取值下 “+” 类和 “-” 类的样本数量，填到表格里；再根据相依表计算按照 A 和 B 划分后的分类错误率，然后算出分类错误率的增益，比较 A 和 B 的分类错误率增益大小，选择增益大的那个属性作为这个子集进一步划分的属性哦。\n",
    "\n",
    "同样地，对于 对应的子集，也在 A 和 B 这两个属性里重复这些操作，选出合适的划分属性呀。\n",
    "\n",
    "（c）步骤重复\n",
    "\n",
    "基于我们以 C 作为第一个划分属性，按照前面的步骤构建好的这个决策树呀，再对整个数据集里的所有样本进行分类哦。从根结点开始，顺着决策树的分支，把每个样本都分到对应的类别里，然后统计一下被错误分类的样本数量，这个数量就是这次构建的决策树错误分类的实例数啦。\n",
    "\n",
    "（e）使用（c）和（d）中的结果分析决策树归纳算法贪心的本质\n",
    "\n",
    "首先呢，我们要对比一下（c）和（d）这两个过程得到的结果呀，看看按照我们前面选出来的 “最优”（也就是根据分类错误率选择的那个最合适的属性作为第一个划分属性）的方式构建的决策树，它的错误分类实例数是多少；再看看强制使用 C 作为第一个划分属性构建的决策树，它的错误分类实例数又是多少哦。有可能出现的情况是，按照 “最优” 方式构建的决策树错误分类实例数更少，说明它的分类效果更好呀；也有可能这两种情况下错误分类实例数是一样的；当然啦，也说不定强制使用 C 作为划分属性的情况反而错误分类实例数更少呢，不过这都得看数据集具体的分布情况啦。\n",
    "\n",
    "然后我们来分析一下决策树归纳算法贪心的本质哈。决策树归纳算法的贪心本质就体现在呀，它每一步都想要选择当前看起来是最优的那个划分属性哦，这里呢就是以降低分类错误率作为目标去选择的呀。从（c）和（d）的对比就能看出来啦，当按照贪心策略去自由选择划分属性的时候呢，它是希望每做一次选择，都能让整个决策树的分类效果朝着更好的方向发展哦，也就是想通过每一步都选择局部最优的那个划分属性，慢慢地构建出一个整体上比较好的决策树结构呀，这样最终就能让错误分类的实例数尽可能地少啦。\n",
    "\n",
    "八．考虑图4-30中的决策树。\n",
    "\n",
    "（a）乐观方法计算泛化错误率 • 乐观方法假设每个叶节点在未来的分类都是完全正确的，除了那些在训练集中已经被错误分类的样本。\n",
    "\n",
    "• 在训练集中，错误分类的样本数为3（实例2、4、9），总样本数为10。\n",
    "\n",
    "• 泛化错误率=\\frac{错误分类的样本数}{总样本数}=\\frac{3}{10} = 0.3。\n",
    "\n",
    "• 故本题答案为0.3。\n",
    "\n",
    "（b）悲观方法计算泛化错误率 • 悲观方法在每个叶节点增加一个因子0.5。\n",
    "\n",
    "• 假设决策树有n个叶节点，这里我们先计算叶节点数。从给定数据看，决策树的叶节点数为5（通过对数据分类情况大致判断，例如A = 0且B = 0为一个叶节点情况等）。\n",
    "\n",
    "• 按照悲观方法，调整后的错误数=训练集中错误分类的样本数+叶节点数\\times0.5=3 + 5\\times0.5=3 + 2.5 = 5.5。\n",
    "\n",
    "• 总样本数为10，泛化错误率=\\frac{5.5}{10}=0.55。\n",
    "\n",
    "• 故本题答案为0.55。\n",
    "\n",
    "(c) 使用提供的确认集计算决策树的泛化误差（降低误差剪枝）：\n",
    "\n",
    "确认集包含5个实例（从实例11到实例15），其中有2个被正确分类，3个被错误分类。因此，确认集的错误率为3/5 = 0.6，但题目中已给出确认集的错误率也为0.5（可能是基于某种特定计算或简化），我们遵循题目信息。使用降低误差剪枝方法时，我们比较剪枝前后决策树在确认集上的性能。由于题目未提供剪枝后的决策树信息，我们只能基于当前决策树和确认集给出泛化误差，即0.5。"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
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